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Yet Another e Explained

2019-09-02

不尽人意的例子

虽然有不少关于自然常数e的解释,浏览下来不少都从复利计算的例子展开。 其中的逻辑是,如果年利率是100%,如果按每年计算利息,一年后获得的财富将是200%; 如果按每半年,一年后获得\((1 + \frac{100\%}{2})^2 = 225\%\); 如果按每月,一年后获得\((1 + \frac{100\%}{12})^{12} = 261.3\%\); 如果按无限小的时间单位计算,一年后获得\(\underbrace{(1 + \frac{1}{N})^N}_{N \rightarrow \infty}\),而这个数就是e。

在历史上,虽然e是在对复利的研究中被发现的,但我觉得这可能并不是一个足够直观的例子。其中的悖论是,既然我们规定了年利率是100%,将每半年的利率当作50%的算法显得很随意粗暴,这么一来,我们一年后实际获得的财富也就超过了100%的既定利率了呀?而且,既然e被称作“自然”常数,这种看似人为随意规定的规则到底和自然有什么关系呢?

核心概念

e背后的核心概念,是用来描述和“自身大小”相关的“增长率”。 比如,滚一大一小两个雪球,因为大的雪球表面积更大能吸附更多的雪,相同单位时间内,大的雪球比小的雪球变大得更多,换句话说,雪球大小的增长率和它自身的大小正相关。 再比如,比较两个培养皿中的细菌,假设其他条件相同,单位时间内大的群落比小的群落能繁殖更多细菌,也就是说,细菌群落的繁殖速率和群落本身的大小有关。 可以想像现实中存在很多类似的例子,我们不妨暂且将这类变化称作“自然增长”。(其实,也可能是减少。)

接下来,我们来看“自然增长”与e之间的关系。 我们将“自身大小”的量记作y,把时间记作x,当大小的增长率和自身大小成正比,我们就有了以下式子:

\[\frac{d y}{d x} = k y\]

其中k是一个代表权重的常量,所以我们不妨先研究\(k=1\)时候的情景。 即:

\[\frac{d y}{d x} = y\]

稍有微积分基础的人都能看出,\(y = e^x\)这个函数满足上面的式子,也就是说,\(e^x\)的导数是其本身。

\[\frac{d e^x}{d x} = e^x\]

换句话说,如果大小y和时间x满足\(y = e^x\),那它符合我们描述的“自然增长”的特征。

唯一性

其实,\(e^x\)并不是唯一满足“导数是其本身”这一性质的函数:任何\(y = c e^x\)(c为常数)的导数也都是其本身,即

\[\frac{d (c e^x)}{d x} = c e^x\]

除此以外,还有其他函数的导数是其本身吗? 答案是没有。 我们可以通过反证法证明。

假设存在一个函数\(f(x)\)不满足\(c e^x\)的形式,但有\(\frac{d f(x)}{d x} = f(x)\)的性质。 那么,我们可以得出\(e^{-x} f(x)\)的导数为0的结论:

\[\begin{aligned} (e^{-x} f(x))' & = e^{-x} f'(x) + (e^{-x})' f(x) \\ & = e^{-x} f(x) - e^{-x} f(x) \\ & = 0 \end{aligned}\]

也就是说,\(e^{-x} f(x) = a\),\(a\)是一个常数。 可推出,\(f(x) = a e^x\),与假设矛盾。Q.E.D

一般化

那么对任意的权重k,\(\frac{d y}{d x} = k y\)的原函数是什么呢? 答案是\(y = c e^{k x}\)。 我们可以轻松验算得出:

\[(c e^{k x})' = c (k x)' e^{k x} = k (c e^{k x})\]

至此,我们可以说\(y = c e^{k x}\)是“自然增长”函数的一般形式。 其中,c是自身“绝对大小”的权重,k是“增速”和“大小”之比的权重。

再看复利

回头看复利,复利也满足“自然增长”的特征,它就和“滚雪球”类似,单位时间内获得额外利息的多少和本金多少成正比。

所以,\((1 + \frac{1}{N})^N = e\)究竟在描述什么现象? 假设我们将1年分成\(\Delta x\)时长的N等分,即\(\Delta x = \frac{1 (year)}{N}\),那这个式子也就变成了\((1 + 100\% \Delta x) ^ N\)。 翻译成自然语言就是:对于任意小的一段时间\(\Delta x\),我们始终保持100%的增长速率,那么经过N个\(\Delta x\)(1年)以后,我们的财富将变成e倍。

也就是说,如果你在“任意瞬间”都是100%的年利率增长(\(\frac{d y}{d x} = k y\), where \(k = 100\%\)),那1年后你的财富将变成\(e\)倍,2年后你的财富将变成\(e^2\)倍···(\(y = e^x\))。 当然,现实中银行多是按月或者按年计算复利,我可不知道哪家银行会按e的指数函数连续计算复利,这也是我觉得用复利作为例子的不够直观的另外一个原因。

自然衰减的例子

之前我们稍微提及了,e不但可以描述增加,也可以描述减少。 这里我们举一个热水降温的例子: 我们可以直观地想象出,热水降温的速度,和自身温度与室温的温差有关。 温差越大,热交换越快,降温也就越快。

为了方便讨论,我们假设室温为0摄氏度,假设热水温度是y摄氏度,时间是x,那么我们有如下关于水温随时间变化率的式子:

\[\frac{d y}{d x} = - k (y - 0) = - k y\]

其中(y - 0)代表温差,k是一个线性常数,前面的负号代表温度下降。

这个式子除了符号相反,不是正好满足了之前讨论“自然增长”时的公式形式吗? 我们可以很容易得出,水温y和时间x之间满足\(y = c e^{-k x}\)的关系。

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