Yet Another e Explained
不尽人意的例子
虽然有不少关于自然常数e的解释，浏览下来不少都从复利计算的例子展开。 其中的逻辑是，如果年利率是100%，如果按每年计算利息，一年后获得的财富将是200%； 如果按每半年，一年后获得\((1 + \frac{100\%}{2})^2 = 225\%\)； 如果按每月，一年后获得\((1 + \frac{100\%}{12})^{12} = 261.3\%\)； 如果按无限小的时间单位计算，一年后获得\(\underbrace{(1 + \frac{1}{N})^N}_{N \rightarrow \infty}\)，而这个数就是e。
在历史上，虽然e是在对复利的研究中被发现的，但我觉得这可能并不是一个足够直观的例子。其中的悖论是，既然我们规定了年利率是100%，将每半年的利率当作50%的算法显得很随意粗暴，这么一来，我们一年后实际获得的财富也就超过了100%的既定利率了呀？而且，既然e被称作“自然”常数，这种看似人为随意规定的规则到底和自然有什么关系呢？
核心概念
e背后的核心概念，是用来描述和“自身大小”相关的“增长率”。 比如，滚一大一小两个雪球，因为大的雪球表面积更大能吸附更多的雪，相同单位时间内，大的雪球比小的雪球变大得更多，换句话说，雪球大小的增长率和它自身的大小正相关。 再比如，比较两个培养皿中的细菌，假设其他条件相同，单位时间内大的群落比小的群落能繁殖更多细菌，也就是说，细菌群落的繁殖速率和群落本身的大小有关。 可以想像现实中存在很多类似的例子，我们不妨暂且将这类变化称作“自然增长”。（其实，也可能是减少。）
接下来，我们来看“自然增长”与e之间的关系。 我们将“自身大小”的量记作y，把时间记作x，当大小的增长率和自身大小成正比，我们就有了以下式子：
\[\frac{d y}{d x} = k y\]其中k是一个代表权重的常量，所以我们不妨先研究\(k=1\)时候的情景。 即：
\[\frac{d y}{d x} = y\]稍有微积分基础的人都能看出，\(y = e^x\)这个函数满足上面的式子，也就是说，\(e^x\)的导数是其本身。
\[\frac{d e^x}{d x} = e^x\]换句话说，如果大小y和时间x满足\(y = e^x\)，那它符合我们描述的“自然增长”的特征。
唯一性
其实，\(e^x\)并不是唯一满足“导数是其本身”这一性质的函数：任何\(y = c e^x\)（c为常数）的导数也都是其本身，即
\[\frac{d (c e^x)}{d x} = c e^x\]除此以外，还有其他函数的导数是其本身吗？ 答案是没有。 我们可以通过反证法证明。
假设存在一个函数\(f(x)\)不满足\(c e^x\)的形式，但有\(\frac{d f(x)}{d x} = f(x)\)的性质。 那么，我们可以得出\(e^{-x} f(x)\)的导数为0的结论：
\[\begin{aligned} (e^{-x} f(x))' & = e^{-x} f'(x) + (e^{-x})' f(x) \\ & = e^{-x} f(x) - e^{-x} f(x) \\ & = 0 \end{aligned}\]也就是说，\(e^{-x} f(x) = a\)，\(a\)是一个常数。 可推出，\(f(x) = a e^x\)，与假设矛盾。Q.E.D
一般化
那么对任意的权重k，\(\frac{d y}{d x} = k y\)的原函数是什么呢？ 答案是\(y = c e^{k x}\)。 我们可以轻松验算得出：
\[(c e^{k x})' = c (k x)' e^{k x} = k (c e^{k x})\]至此，我们可以说\(y = c e^{k x}\)是“自然增长”函数的一般形式。 其中，c是自身“绝对大小”的权重，k是“增速”和“大小”之比的权重。
再看复利
回头看复利，复利也满足“自然增长”的特征，它就和“滚雪球”类似，单位时间内获得额外利息的多少和本金多少成正比。
所以，\((1 + \frac{1}{N})^N = e\)究竟在描述什么现象？ 假设我们将1年分成\(\Delta x\)时长的N等分，即\(\Delta x = \frac{1 (year)}{N}\)，那这个式子也就变成了\((1 + 100\% \Delta x) ^ N\)。 翻译成自然语言就是：对于任意小的一段时间\(\Delta x\)，我们始终保持100%的增长速率，那么经过N个\(\Delta x\)（1年）以后，我们的财富将变成e倍。
也就是说，如果你在“任意瞬间”都是100%的年利率增长（\(\frac{d y}{d x} = k y\), where \(k = 100\%\)），那1年后你的财富将变成\(e\)倍，2年后你的财富将变成\(e^2\)倍···（\(y = e^x\)）。 当然，现实中银行多是按月或者按年计算复利，我可不知道哪家银行会按e的指数函数连续计算复利，这也是我觉得用复利作为例子的不够直观的另外一个原因。
自然衰减的例子
之前我们稍微提及了，e不但可以描述增加，也可以描述减少。 这里我们举一个热水降温的例子： 我们可以直观地想象出，热水降温的速度，和自身温度与室温的温差有关。 温差越大，热交换越快，降温也就越快。
为了方便讨论，我们假设室温为0摄氏度，假设热水温度是y摄氏度，时间是x，那么我们有如下关于水温随时间变化率的式子：
\[\frac{d y}{d x} = - k (y - 0) = - k y\]其中(y - 0)代表温差，k是一个线性常数，前面的负号代表温度下降。
这个式子除了符号相反，不是正好满足了之前讨论“自然增长”时的公式形式吗？ 我们可以很容易得出，水温y和时间x之间满足\(y = c e^{-k x}\)的关系。